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2, Dalla proposizione stabilita si trae subito una notevole conseguenza. 



Sia /(oc, y) una funzione delle due variabili reali x e y, definita per x 



variabile nell'intervallo a...b sopra le rette y = y }ì y 2J y % , In ogni punto 



x esista determinato e finito 



/(#> # ) = lim/(a?, y s ) 



Se preso un numero positivo a comunque piccolo, sopra ciascuna retta 

 y = y s esistono dei tratti determinati d liS , d i)S , . . . , il cui numero può anche 

 crescere indefinitamente, in ogni punto dei quali è 



\A®iy<ì—A&,y»)\>° 



la somma d s di questi tratti coli' avvicinarsi di y s a y deve tendere a zero: 

 perchè, altrimenti per la proposizione precedente esisterebbe fra a e b al- 

 meno un punto x , in cui non sarebbe 



A&, y ) = ììm Ax, y s ) . 



y s —yo 

 3. — Si prenda in particolare 



A&> y*) = £0> ri) = u } (x) -+- u 2 (x) -\ h- u n {x) 



dove le u x (x), u x (x) , — sono funzioni della variabile reale x fra a e b e 



il numero n sta in posto di y s . Per definizione la somma totale della serie é 



\\mS(x, n) che indicheremo con S(x) e qualche volta anche con S(x, ce). 



Sarà 



/(# » y ) —A® , y s ) = S(x , co) — S(x , n) = R n {x) 



R n (x) resto della serie. 



Or si può enunciare la proposizione : 



Se 2iu,(x) è una serie di funzioni convergente in ogni punto dell' inter- 

 vallo a...b, la somma dei tratti determinati in ogni punto dei quali, per 

 uno stesso valore di n, è 



\R n {oc)\>(j 



deve impiccolire indefinitamente, al crescere indefinito di n . 



^. — Un'altra immediata applicazione della proposizione del n.° 1 è 

 la seguente : 



Se f(x , y) è una funzione delle due variabili reali x e y data per tutti 



