— 138 — 



Per conseguenza, per quanto abbiamo detto precedentemente, se per 

 vgni punto x di un intervallo a...b è soddisfatta la condizione 



lim (p(n)f{nx) = 



necessariamente dovrà essere 



lim <p{n) = 0. 



Osservazione. — Questa proposizione contiene l'altra : se f(x) è una fun- 

 zione arbitraria, continua e periodica: se @ 1} /? g sono infinite costanti 



date arbitrariamente, e si sa che, per ogni valore x compreso tra x x e x 2 , 

 essendo x z e x 2 due costanti arbitrarie, sussiste la formola 



lim $ n f{nx) = 



necessariamente dece essere 



lim /?„ = : 



proposizione che fu dimostrata da C. Neumann nel voi. 22° dei Matite- 

 matische Annalen con altro metodo che egli stesso chiama un po' com- 

 plicato. 



Evidentemente é anche caso particolare della proposizione suesposta, 

 quella di Canto r, importante nella teoria delle serie trigonometriche: se 

 per ogni valore x compreso in un dato intervallo a...b è soddisfatta la 

 condizione 



lim (a n sen nx -+- b n cos noe) = , 



necessariamente deve essere 



lim a n — , lim b n = . 



0! =100 « = C>C 



II. 



I. — Continuità. — Ci proponiamo ora di studiare la questione della 

 continuità della somma di infinite funzioni continue. 



È ben noto che Cauchy riteneva continua la somma di infinite fun- 

 zioni continue (Cours d'Analyse p. 131), e che Abel pel primo osservò 

 che vi erano delle eccezioni (Oeuvres 224) non vedendo però pienamente la 

 ragione della cosa: fu Sei del (memorie dell'Accademia di Monaco II. 



