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pag. 280) che riconobbe neila convergenza non uniforme, la cagione della 

 discontinuità : ma, la convergenza uniforme, se é condizione sufficiente, 

 non é però necessaria. 



Gli esempi di serie che mettono sotto gli occhi questi diversi modi di 

 comportarsi rispetto alla continuità si possono ormai moltiplicare all'infinito. 



Solamente a scopo di piena chiarezza ne indicheremo alcuni. 

 1° Abbiasi ad esempio : 



(1 — a?)H-(l — x)x-\- ••• -i-(l — x)x n -\ 



se S(x) ne indica la somma, si ha 



S(x) = (l — a>)— i- = l, 



X lAJ 



per ogni x dato dalla limitazione 



<x < 1 . 

 È invece 



S(x) = , per x = 1 . 



2° Parimente per la serie 



( 1 — X)X -+- (1 — X 2 )X 2 H 



■£(1) = 0, 



si trova 



mentre per \x\ < 1 é 





S(x)=^x"— "£x 2 



1 



X x 2 



1 — X 1 — x 2 



X 1 



1 H- X 1 — X 



per ogni x detto è dunque convergente ma per x tendente a 1 si ha 



lim S(x) = co 



x = l 



In ognuna di queste due serie di funzioni continue, la cui somma offre 

 una discontinuità nell'intervallo 0...1, si vede subito che manca la con- 

 vergenza uniforme. 



