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 Ci si persuade del resto subito della convergenza non uniforme della 

 serie quando si osservi che é 



R; 



l \n)—2'- 



dimodoché, per ogni n comunque grande, vi é sempre il valore se = - , pel 



quale non è 



\R n (oc)\ < e, 



se é ^ 1 



Quest'ultimo esempio chiarisce, ciò che dianzi dicemmo e che é ben noto: 

 cioè, che la convergenza uniforme non é necessaria per la continuità. — 

 Qui manca anche, come é manifesto, la convergenza del Di ni <*>. 



2. — Informandoci al concetto già seguito al n.° 3 del par. I, invece 

 che considerare direttamente la serie di funzioni, prenderemo a studiare 

 la funzione generale J{oo, y) delle variabili x e y ; che supporremo, come 

 si è detto, definita per tutti i punti del tratto a...b preso su ciascuna 

 delle rette 



y = y^ y^ &>•••• 



essendo y 19 y t , &,-.... un gruppo di numeri (y) aventi per unico numero 

 limite il numero y . 



Nel punto (x , y s \ per ogni y, diverso da y , essa sia finita e continua 

 rispetto alla variabile oc: in ogni punto poi (oo,y ) almeno per' a? dentro 

 un certo intorno (03 ù — e , se -H£), sia determinato 



lim/0», y s ) ==/(&, y ) 



2/s=2A> 



J\sc,f/ S ) indicando il valore della /(se, //) nel punto (03,y s ). 



Affinchè la funzione di x f(x, y ), definita nell'intorno detto dalla pre- 

 cedente eguaglianza, sia finita e continua nel punto x , è necessario e suffi- 

 ciente che per ogni numero a arbitrariamente piccolo e per ogni valore y, 

 abbastanza prossimo a y esista un intorno assegnabile, variabile anche con 

 y t , ma giammai nullo, del punto x tale che per x preso in esso, sia 



\An,yti—Ato,yt)\ <<> 



(') Vedi: Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali, pag. 103. 



