— 143 



y=y« 



y = yt 



y = y*i 



Fig. 2 



XO — Sy (Xpl/g) XO ■+■ Zy 



\ &0 — 5;/( 



(a? 



yò 



X(\ -+- S?y f 





La condizione é necessaria. — Suppongasi che sia f(x, y 6 ), come fun- 

 zione di x, finita e continua nel punto x ; esisterà un valore y Sì tale che 

 per esso e per ogni y t del gruppo (y), che cade tra y Sl e y , sarà 



e esisterà anche un intorno (a? — ^ o) ^o + ^J sulla retta y = y in ogni 

 punto a? del quale é 



l/K^o)— /(^>&>)| < Q 



Per la continuità poi rispetto a a? che si ha, per ipotesi, anche nel punto 

 (x , y t ) esiste un intorno (3c — d' y , , x -+- d yt ) sulla retta y = y t , in ogni 

 punto a? del quale é 



\f(&o,!/t)—f(3c,yt)\ < 3 ; 



e cosi pel punto x sopra ogni retta y = y t , per y t compreso fra y Sì e y 

 esiste un intorno x — d yt , x -\~ d yt ) variabile con y t , tale che per ogni 

 punto x in esso è 



\f{n,y*)—Ax,yt)\ <^ ; 



il d yt sarà il più piccolo dei due numeri d' yo , d' yt e d yt il più piccolo degli 

 altri due d yo e d Vt . 



La condizione é sufficiente. Per ipotesi, é determinato 



/(^o»^o) = lim /(^o^*) 



