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e poiché si ammette, che per tutti i punti x in un certo intorno (x — <?', 

 x -+-d) di x sia 



\f(x, y Q ) — f(x,y t )\ <a , 



sarà anche, in particolare, 



l/0»o>^>)— A&o>yt)\ <tf ; 



ma, per dato, é f(x , y t ) finito : é dunque tale f{x QÌ y Q ) e lo é anche f(x, y ) 

 per tutti i punti x di un certo intorno di x . 



Fig. 3 



y = y<> 



y — Vt 



3c — 8 x y Xq -+- 8 



ar — ò 



a?o -+- 8' 



Xoljt 



y = y*i 



Per la continuità poi rispetto a x della f{x, y t ) è, in un certo intorno 



da questa e delle precedenti segue, che per tutti gli x nel più piccolo dei 

 due intorni (x — d, x -\-d) e (x Q — 3', x -+-d') é 



\A&o>yo)—A&,y )\ < 3(J 



che dà la prova della continuità di f(x, y ) nel punto x . 



Ossercazione. — Sia fissato un valore y t e contemporaneamente un' in- 

 torno corrispondente (x — d' ytì x -\-d yi ) dentro il quale per ogni x si verifica 

 la diseguaglianza precedente 



l/(«, y )—f(^ yt)]<<r; 



intorni siffatti ve ne sono infiniti, i quali quindi ammettono un intorno 

 come limite superiore; nella proposizione dianzi stabilita si può per cia- 

 scun valore y t prendere in considerazione l'intorno massimo cosi corri- 

 spondente. 



