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3. — Si applichino queste considerazioni alla funzione 



•S (x, n) = u ì (x) -+- u 2 (x) -h- -+- u n (x) 



dove si suppongono le u n (x) funzioni di x finite e continue in un punto x 



dell'intervallo a b. 



Poiché per ogni n Anito é S(x, n) finita e continua rispetto a x e per 

 definizione é sempre 



S(x) = S(x, co) = lini S(x, n) 



cosi si può enunciare. 



Neil' ipotesi che una serie di infinite funzioni continue abbia in ogni punto 

 di un certo intorno di un punto x una somma S(x) determinata, affinché 

 questa sia, nel punto x medesimo, anche finita e continua è necessario e 

 sufficiente che per ogni numero a arbitrariamente piccolo e per ogni valore 

 di n superiore a un dato numero abbastanza grande m', esista un numero 

 e (variabile o nò con n) tale che per tutti i valori di x fra x — e e x H-e, 

 il resto della serie 



S(x) — S(x, n) = R n (oc) 



sia, in valore assoluto, minore di a. 



Osservazione. — Abbiamo posto, come definizione, che sia 



lim f(x, y s ) =f(x, y ) 



i/s = y a 



in ogni punto x di un certo intorno del punto x ; ma veramente baste- 

 rebbe supporre che f(x, y ), comunque definita pei punti x di quell' intorno, 

 sodisfacesse a queir eguaglianza pel solo punto x { * ] . 



4. — Tenute ferme le ipotesi poste sulla f(x, y), aggiungasi di più che 

 sia finita e continua rispetto alla variabile x in ogni punto (x, y s ) dell' in- 

 tervallo a b per y s diverso da rj ; e in ogni punto (x, y ) sia deter- 

 minato 



f(x,y ) = lim f(x,y s ) 



In tale ipotesi si determina la condizione necessaria e sufficiente affinchè 

 f(x,y ) sia una funzione di x finita e continua in ogni punto fra a e b. 

 Suppongasi primieramente che ciò sia. Assegnato a piacere un numero 



(*) Per la proposizione ora stabilita vedansi i citati Fondamenti etc. ete. del prof. Dini, pag. 109. 

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