— 146 — 



positivo a, pei" ogni punto od tra a e b e per ogni valore y t abbastanza 

 prossimo a y Q esiste un'intorno (x' — d\ Jt , x' -+- d ÌJt ) variabile con y t , tale 

 che per ogni punto oc in esso é 



\f(&,y ) —f(a,yt)\ < (r. 



Qui ci conviene distinguere in così fatto intorno la parte a destra e la 

 parte a sinistra e precisamente possiamo dire : scelto il solito numero a 

 e un numero y s a piacere, fissato un punto oc' se y t é un valore qualsiasi 

 compreso fra y s e y , esisterà sulla retta y = y t un intorno di ampiezza 

 A(x',y t ) a destra di oc' tale che in ogni punto oc di esso é 



\f(&,y ) —f{oc,y t ) | < a: 



questa ampiezza A(x',y t ) può anche, per certi valori di y t , essere nulla: 

 ma non lo sarà certamente per tutti, se oc' non è l'estremo b: sappiamo 

 anzi che per y t abbastanza prossimo a y , sarà sicuramente A(x' ,y t )> o. 



Per ciascun valore y t si consideri il limite superiore di tutti gli intorni 

 a destra di oc' , nei quali é per ogni punto oc, gli estremi inclusi, verificata 

 la disuguaglianza precedente. Il A (oc', y t ) indichi appunto questo limite 

 superiore. 



Questo A(x',y t ) riguardato come funzione di y t , per y t compreso tra y s 

 e y , ammetterà un limite superiore che sarà sicuramente maggiore di 

 zero, se oc' non è b. 



Un tal limite superiore è dunque determinato per ogni valore oc', fissati 

 che sieno a e y s . 



Lo si chiami A (oc'). 



Si consideri l'intervallo a b — s, e essendo un numero positivo co- 

 munque prefissato, ben inteso e < b — a. 



La funzione A (x), considerata per x in questo intervallo, ha ivi un li- 

 mite inferiore che vogliamo dimostrare essere diverso da zero. 



Sia 4 questo limite inferiore. 



Vi sarà in a b — s almeno un punto in ogni cui intorno il limite 



inferiore dei valori della A (oc) è ancora l s . 



Sia desso il punto od . 



Ma per questo punto od si ha pure il valore A (oc'), dianzi descritto 

 della funzione A (x) e sarà A (od) un numero determinato maggiore di 

 zero. 



Fra i valori y t compresi tra y s e y ve ne é dunque almeno uno y t , 

 pel quale 1' ampiezza A dell' intorno, per ogni punto x del quale é veri- 

 ficata la 



\f(M,y Q )—ffayt)\ <° 



