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Per l'intervallo a b — A' b si determini la corrispondente quantità /, 



di cui dianzi si é dimostrata l'esistenza: sarà 1<K, giacché il valore 

 di l pel punto b — A' b non può superare A'„ . 



Sia l x una determinata quantità minore eli l. 



Per tutto quanto è stato esposto si conclude che, scelto a piacere un 

 numero positivo a piccolo ad arbitrio e un numero y s , prendendo dei 

 tratti di ampiezza non inferiore ad l x sopra certe rette 



y = ys 1 , y = y* 2 , y — y* P 



opportunamente scelte fra y = y s e y = y , resulta composta una linea 

 spezzata in ogni punto (x, y,) della quale si ha 



\f{oc,y^—f{oc,y r )\<o 



y Sr essendo uno dei numeri y Sl , y s% ...y Sp \ (nella figura 5) i tratti componenti 



Fio. 5 



y = yo 



a 



v = y-h 



y = yi 



a 



la spezzata sono quelli in pieno; e si potrebbe anche in luogo dell'inter- 

 vallo a b — A b considerare l'altro a-¥-A a ....b e procedere in modo 



analogo). 



Reciprocamente pongasi che sia sodisfatta questa condizione. 

 Si consideri un punto (x\y ): per ipotesi è determinato 



f{9D\y^ = \\mf{x\y s ) 



Per la condizione anzidetta, fissato a piacere un y s e il solito <7, si tro- 

 vano dei numeri y $1 , ?,,....?* in numero finito compresi fra y, e y , tali 

 che qualunque sia x, si ha 



\f(x,y Q )—f(&>ysr)\ < a, 



