— 149 — 



Poiché ognuna delle f(x,y X] ), — f(x,y Sp ) è funzione continua di x in 



a b, cosi esiste certo un numero M maggiore del massimo dei loro 



valori assoluti : si ha dunque intanto 



\f(x, y )\<M-ha: 



il valore f[x',y ) è perciò il limite determinato e finito della f(x',y s ) al 

 convergere di y s a y . 



Per conseguenza, per tutti gli y t abbastanza prossimi a y ù , si avrà 



\A&',y ) —f(x,y t ) I < 3 : 



si fìssi uno di tali valori e sia indicato con y t ; per l' ipotesi ammessa, 

 fra y t e y esistono dei numeri y tì , yt 2 , — yt q in numero finito tali che, 

 qualunque sia x, si ha 



\f(&,y ) —f(M,ytr)\ < 3- 



Ora il punto x' che si considera, può essere interno ad uno dei tratti 



esistenti sulle rette y — y ti , y tìì y tr e componenti la linea spezzata pei 



punti della quale è 



\f(oo,y )—f(x,y t ,)\< |, 



ovvero può essere un'estremo di uno di tali tratti. 



Nel primo caso, il tratto in cui cade il punto x' sia ad es. quello da 

 x' — d' a x' H- d sulla retta y = y tl : si avrà 



e anche 



\f(x , ,y )-f(x',yt 1 )\<l 



\f(x' + h,y ) -f(x' -+- h, y h ) | < | 



se x' -+- h è un punto dal tratto medesimo. 



Ma per la continuità della f(x, y tl ) come funzione di x, nel punto x', è 

 pure 



\f(x'+h,y ti )-f(x',y tl )\<^ 



se x' -H h cade dentro un certo intorno (x' — d\ , x' -+- d x ) ; e i due intorni 

 (x' — d', x' -\-d) e (x' — ò\, x' H-^) hanno una parte comune (x' — y', x' -\-y) 



