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con y' e y ambedue certamente maggiori di zero e allora per ogni x' -+- h 

 contenuto in essa é 



\/(x'-hh,y )—/(x',y )\<a; 



che fornisce la prova della continuità di /(x, y ) nel punto od. 



Nel secondo caso, sieno ad es. od — d' od e x\...cd -\-d i due tratti 



giacenti sulle rette y = y tl e y = y t2 rispettivamente, e appartenenti alla 

 linea spezzata. 



Abbiamo pure 



(T 



come anche 



I/O»' y ) — fi®' y*ù I < 3 

 e \f(&'y )—f(&',ytù\<2 



f(af ■+■ h, y ) —f{od -+- h, y h ) < ~ 



e f{pd -+- h, y ) —/(od -+■ A, ?/ f ,) < - 



per ogni punto x-\-h che cade nei tratti detti a sinistra e a destra di od; 

 d'altra parte per la continuità nel punto od delle /(oc, y t] ), /(oc, y ti ) si ha 

 sicuramente 



\/(oc'^h,y h )-/(oc',y tì )\<^ 

 per oc' -+- h nel tratto x — d ...od o in una parte di esso: parimente si ha 



\/(oc'-^k,y h )—/(x',y h )<^ 



per x' -+- h che cade in x'...x'-+-d o in una parte di esso: dimodoché 

 del confronto di queste disuguaglianze si ha certamente 



\/(x -h h, y ) —/(x', y Q |< a 



per ogni x-\-h contenuto in un intorno (x' — -y . . . x' -+- y). 



Si può dunque enunciare: affinchè la f(x, y), nelle condizioni poste a 

 principio, sia sulla retta y = y finita e continua rispetto a x, è necessario 

 e sufficiente che per ogni numero positivo a arbitrariamente piccolo e per 

 ogni numero y s diverso da y esista un numero l x maggiore di zero tale che 

 mediante tratti di lunghezza non minore di l^ presi su alcune rette 



y = y Si , y Sz ,..-y Sp 



