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essendo i numeri y Sl , y^.-.y^ in numero finito e compresi tra y s e y , si 

 possa comporre una linea percorrente tutto V intervallo a . . . b e sodisfacente 

 alla condizione, che se (x, y St ) è un punto qualsivoglia di essa si ha 



\f(&>y ) — fayst)] <<*• 



Osservazione. — Scelto un y s e y si trova l'anzidetta linea spezzata: 

 ma evidentemente ve ne saranno infinite; perchè se ad es. y Sp é il massimo 

 dei numeri precedenti, si troverà pure una linea analoga tra y Sp e y e cosi 

 via. Il numero l x corrispondente alle varie linee cosifatte può però decre- 

 scere coli' approssimarsi di y s a y , e anche decrescere indefinitamente: 

 pure esistendo determinato e Anito per ogni y s e o - , che si fissi. 



5. — Della proposizione ora stabilita si può dare un'altra dimostra- 

 zione, che giova esporre perchè mette in luce un'altra proprietà dei tratti 

 componenti la linea spezzata. 



Si fìssi un punto oc : esiste come si sa per esso un' intorno sulla retta 

 y = y t tale, che in ogni punto oc -+- h di esso, è 



a) \J (oc' -+- h, y ) —f(oc' -4- h, y t )\<o; 



per certi y t un tale intorno potrà anche non esistere e potrà la a) non 

 essere verificata neanche per l' unico punto od : ma se y t è abbastanza 

 prossimo a y , il detto intorno esiste certamente ed è diverso da zero. 



Si consideri un' intorno in cui è soddisfatta la a) e di più avente il 

 punto oc' come punto di mezzo : di intorni soddisfacenti a queste due con- 

 dizioni, se ve ne è uno diverso da zero per un y t , ve ne saranno infiniti. 



Per uno stesso y t vi sarà un limite superiore per tutti gli intorni, aventi 

 oc' come punto di mezzo e tali che in ogni punto di essi, inclusi gli estremi, 

 sia soddisfatta la oc) : questo limite superiore sarà tale che anche in ogni 

 punto di esso, gli estremi inclusi, sarà 



\f(oc'-h h, y ) —f{x' -+- h, y t )\<a: 



mentre in ogni intorno che contiene quello, e ha oc come punto di mezzo, 

 sarà certo in qualche punto 



I/O' -+- h, y ) — f{x' -hh,y t )\>a 



Sia A(oc',y t ) la metà di questo limite superiore. 



Si fissi a piacere un valore y s e si consideri il ^(oc\ y t ) per ciascun 

 valore y t tra y s e y Q : vi sarà per esso un limite superiore A^(a? r ), certa- 

 mente maggiore di zero. 



