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Tenuto fìsso il a e Vy Sì questo limite superiore A lJs (x') e funzione di x : 

 come tale, in tutto l'intervallo a — b ammmette un limite inferiore A, che 

 vogliamo provare essere maggiore di zero. 



Il Ay s (x') ora definito è una funzione continua di x' in a b. 



Si segni sulla y = y 1' intorno x' — Ay s (x') oc' -k- A )Js {x') ; tra le rette 



y=t/ s e y=.y ve ne è una sulla quale si può prendere un intorno 



oc — Ay s (x) oc' -4- Ay s (oc'), con A lJs (x') minore ma prossimo quanto vuoisi 



a A Us (x'), e nel quale, in ogni punto x'-\-h sia 



\f(x' -+- h, y ) —f(x' -4- h, y t )\<a . 



Si prenda un punto x" in esso : si avrà certamente 



\f(g G "-hh,y )-f(x"-i-h,y t )\<(T 



sinché x" -+- h é un punto contenuto nell'intorno suddetto x — A lJs (x')... 

 x' ->r- A' ÌJs (x') ; quindi il numero A ÌJs (x") relativo al punto x", sodisfa alle 

 due disuguaglianze 



Ay.(&") > A ys {oc') — \x" — x'\ 



A lJs (x")< A ys ( 3G ')-h\x"-x'\ 



e all'approssimarsi di x' a x si vede bene che A ÌJs (x") tende a A lJs (x , ) ì 

 il che prova la continuità enunciata. 



Ora se A lJs {x) è funzione continua di x in a b, avrà ivi un minimo, 



che raggiungerà in un qualche punto : e se lo raggiunge, questo minimo l 

 non potrà essere zero - 



Resulta dunque provato che, scelto un numero y s a piacere diverso da 

 y e un cf piccolo come vuoisi, esiste ufi numero l maggiore di zero, tale che 



per ogni punto x dell' intervallo a b vi è un intorno (x — l x -+- /) nel 



quale, in ogni punto x -+- h, si ha 



\f(x -4- h, y ) —f(x -+-h,y t )\<(j 



y t essendo un qualche numero tra y s e y : il quale numero y t potrà variare 

 col numero x assumendo però solo un numero finito di valori in tutto V in- 

 tervallo a. . .b. 



E può enunciarsi in questo modo la condizione necessaria e sufficiente 

 per la continuità di f(x, y ). 



La esistenza della linea spezzata di che é parola nella proposizione del 

 n.° precedente é pure una conseguenza immediata di quanto ora si è 

 detto. 



