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La ovvia obbiezione che si può fare alla dimostrazione della pagina 

 precedente, se il punto x coincide con a e con b, é facilmente tolta { *K 



©. — Si applichino queste considerazioni alla funzione 



S(x, n) = u x (x) -+- u 2 (x) H h u n (x) 



dove si suppongono le u s (x) funzioni di x finite e continue in ogni punto x 



dell'intervallo a b. 



Poiché per ogni n finito é S(x, n) Anita e continua rispetto a x e per 

 definizione é sempre 



S(x) = S(x, co) = lim S(x, n) , 



cosi si può enunciare : 



Neil' ipotesi che una serie di infinite funzioni continue abbia in ogni 

 punto di un certo intervallo a . . . b , una somma S(x) determinata, affinchè 

 questa sia pure finita e continua, è necessario e sufficiente che per ogni 

 numero positivo a preso a piacere e per ogni numero intero m x si trovi un 

 altro numero intero m 2 > m 1 tale, che per un numero m compreso tra m 1 

 e m 2 , si abbia 



\R m {x)\<(j. 



R m (x) indicando il resto della serie contato a partire dal termine u m (x), 

 m potendo anche variare con x ; ovvero, se si riguardano pure n e x come 

 le coordinate di un punto nel piano e ad ogni valore fìsso per n si fa cosi 

 corrispondere una retta parallela all'asse delle x, allora la condizione ora 

 detta consiste in ciò : che, preso a ad arbitrio e m intero pure a piacere, 

 sempre si possa mediante un numero finito di tratti giacenti sulle rette 



y = m-t-p 1 , m-+-p 2 , m-\- p r 



e costituenti nel loro insieme V intervallo a b comporre una linea spezzata 



in ogni punto (x, n) della quale è 



I Rn{oc) | <ff. 



1, — Siffatta condizione consiste, come vedesi, in una certa maniera 

 di convergenza ben distinta dalla ordinaria convergenza uniforme : come 

 anche dalla convergenza uniforme semplice, introdotta dal professor Di ni ( ** } , 

 la quale pure, se é sufficiente, non é necessaria per la continuità della 

 serie, come si é veduto in un esempio dato sopra. 



(*) Questa dimostrazione si discosta alquanto da quella contenuta nella nota: Intorno alla con- 

 tinuità ete. etc. già citata. 



(**) Fondamenti etc. pag. 103. 



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