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Pei numeri m- J t-p lì — m-\-p r non é necessariamente richiesto che 

 siano consecutivi : ma si può mostrare che possono sempre esser presi tali. 



R n (oc) essendo funzione finita e continua per ogni punto x dell' inter- 

 vallo a b, esiste un intorno (x — e x-he) tale che, in ogni punto 



x -+- h in esso, sia 



0) \R n (x-hh) — R n (x)\<^; 



l'ampiezza dell'intorno, per uno stesso n, varierà in generale col punto x, 

 rimanendo però sempre maggiore di un determinato numero 2e n maggiore 

 di zero. 



Poiché manca la ordinaria convergenza uniforme, e manca pure la 

 convergenza del Di ni (se vi fosse l'una o l'altra, ciò, che ci proponiamo 

 di mostrare, sarebbe evidente), procedendo innanzi nella serie 1, 2, 3, — 

 e a essendo abbastanza piccolo, vi é sempre per ogni n qualche punto x', 

 in cui é 



| Rn{oc') | > a 



e allora per x in tutto un intorno 



(x — e' . . . x' -+- s ) , 

 é 



e e', e potranno anche essere maggiori o eguali a 2e n . 



Per ogni valore di n , esisteranno dunque dei tratti determinati in cui, 

 in ogni punto sarà verificata la 



I Rn{x) ] > | : 



per ogni n essi saranno in numero finito e si potranno determinare nel 

 modo seguente : 



Si fìssa un primo punto x' in cui è | R„(x') \ > a e l'intorno corrispon- 

 dente (x' — s...x' -+- e) dentro cui sussiste la /?) ; poi, fuori di un tale 

 tratto, un secondo punto x" nel quale sia pure | R n (x") \ > a : cosi si con- 

 tinui. Mediante un numero finito di tali tratti si perviene anche evidente- 

 mente a esaurire l'intervallo a b. Dentro tali tratti sono sicuramente 



contenuti tutti i punti nei quali é | R n {oc) \ > a . 



Si segnino tali tratti per ogni valore di n. Poiché in ogni punto x di 

 a. . .b è 



lim R n (x) = 



cosi é applicabile la prop. 3 del par. f0 I. 





