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Per conseguenza, per ogni n superiore a un certo n abbastanza grande, 

 vi saranno sempre dei tratti in ogni punto dei quali é | R n (x) | < a . 



Pel valore n -t-l vi sarà almeno un tratto d flcì _ i _ l nel quale é sempre 

 | R n - i . l | <. o ; per n -\-2, un tratto d n<t _ h2 : se à no ^ hl e d no _ i _ 2 coincidessero 

 si potrà prendere una parte di ciascuno : cosi mediante un numero finito 

 di tratti su rette consecutive si esaurirà l' intervallo a b. 



8. — A maggiore dilucidazione esaminiamo alcuni esempi. 

 l.° — Si riprenda la serie : 



S(x) = (1 — oc) -+- (1 — x) x -h (1 — x) a? ■+■ 



per x nell'intervallo 0....1. 



Qui è R n {x) = x n . 



Poiché la S(x) è discontinua per x = l, non vi dovrà essere né con- 

 vergenza uniforme né convergenza a tratti. Infatti, perchè questa si veri- 

 ficasse, bisognerebbe che, fissato un a qualsiasi e un intero m, a piacere, 

 sempre si trovasse un intero m 2 >> m l tale che fosse per x in 0....1 



< 



a 



per valori di n compresi tra m ì e m g . 

 Ora si noti che é 



lim ( 1 • =- 



n = oc \ n/ C 



ed é pure 



1__ <(i_ e y 



71/ 



se e e < - : 



n 



vale a dire che per ogni n, in tutto il tratto 



1 



1 — 



n 



1 

 é sicuramente | R n (x) | > - ; ( *' quindi, per ciascuno dei valori 



m l , w, + l, m x -+- 2, ... m 2 — 1, m 2 



(*) La funzione di n, (1 1 decresce al crescere di n. 



