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 allora, contemporaneamente, sarà anche 



1 — x < tt~ per os, < x < 1 



2m J 



e quindi, per a? t <C a? < 1 



m(l — a?) cr 



l+m(l- a?) 2 

 e cosi, per x in tutto il tratto x l .. . 1 sarà 



Quanto al tratto rimanente 0...x iy si osservi che per <x <x y è 

 sempre 



1 — a; > 1 — a?j>0, 



si può dunque trovare un valore m-\~p di n tale che sia 



. (m-4-/))(l — a?) o- ex ^ ^ 



<- per O^a^^a?, 



l + (m+jo)(l — x) 2 

 e insieme anche 



(j 



ed ecco che allora per x nel tratto 0...x x sarà 



Con due soli tratti, l'uno sulla retta n = m da«, a 1, l'altro sulla retta 

 n^m-¥-p da a ^ si forma la nota linea spezzata. 



4. — Aggiungiamo ancora altri esempi atti a mettere in piena luce la 

 natura della convergenza a tratti, e che ci saranno utili anche più innanzi 

 nello studio dell' integrabilità. 



Si consideri la serie (Darboux, Mem. Sur les fonetions discontinues. 

 V. Ann. de l' Ecole Normale Sup.) 



oo 



%u n (x) =2 S — 2n 2 xe- n ^~h2(n -+- lfxe~ («+ 1 )'* 1 j . 



Serie V. — Tomo Vili. 21 



