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Si ha lim 2n 2 xe~ n ' x ' = : qualunque sia x la somma della serie é dun- 

 que zero. 



Si fissi per x un intervallo qualsiasi ; la serie é ivi sempre una fun- 

 zione continua. 



Si vede subito che il resto 



R n {x) = — 2r?xe~ n ' lx ~ : 



1 1 



nel punto x = - ha il valore — 2ti -; epperó in prossimità del punto x = o, 



a misura che n cresce, si trovano sempre dei punti in cui R n {x) é grande 

 quanto si vuole. 



In ogni intervallo che contenga il punto x = o manca dunque sicura- 

 mente la convergenza uniforme ordinaria e anche la convergenza del Dini. 



Ma si può riconoscere che vi é la convergenza a tratti, ad es. in ogni 

 intervallo — b ...b . 



Si consideri il resto 



R n {x) = — 2n 2 xe~ n ' x \ 

 per un n fìsso, come funzione di x : la derivata 



D x ( — 2n 2 xe~ n * **) = 2n 2 e ~ nì * ( — 1 ■+■ 2n 2 x 2 ) 

 ci mostra che esso ha un massimo e un minimo nei punti rispettivi 



— 1 _ 1 



n[/2 n\/2 



9 



il valore massimo e minimo sono ambedue, assolutamente presi, eguali 



-VI- 



Per x che varia da = a =,RJx) decresce dal massimo n\ — 



n\/2 n\/2 V e 



V2 1 

 -; a sinistra del punto = decresce tendendo a zero 

 e ni/2 



per x = — co : a destra del punto =• cresce, tendendo pure a zero per 



n\/2 



x = co . 



Per x negativo, R n (x) è sempre positivo : per x positivo, é sempre 



negativo. 



