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nei quali é | R n {x) | < a ; la linea spezzata percorrente l'intero intervallo 

 può essere, come vedesi, composta in più modi. 



5. — Si consideri ancora con W. F. Osgood (A Geometrical Method 

 for the treatment of uniform conuergence etc. etc. - Bulletin of the Ame- 

 rican Mathematica! Society 1896.) la funzione 



[/ 2e . asce ~ n2 x ~ 



che converge a zero per ogni valore fìsso di x al crescere di n. Si sosti- 

 tuisca in esso x con sen.Tras e si ponga 



(p n (x) = V 2e.n.sen7txe n ~ seil - Ka! 



la quale é di periodo 1. 



Sì formi la serie, per o < x < 1 , 



1 , 1 1 i 



S n {x)=(pn(OC)^-r^(p n ( |2 . X) -+- -r= <p n (|3 . X) -+-. . . . H-|^ <£ n ( |A . O?) -+" . . . . 



di ciascuna delle 



<pn(x), (p n (\2.X), ....<p n (\k.x), 



il minimo assoluto è 0, il massimo 1 ; si riguardi fìsso n : allora la serie 

 s n (x) é convergente uniformemente : essa é dunque una funzione continua 

 di x per ogni n fìsso. Al crescere indefinito di n per ogni x fìsso, tende 

 a zero e cosi anche la serie 



S x (x) H- (S 2 (x) — S x (x) )-+-....-+- (S n (x) — S n _ 1 (x)) -+-.... 



rappresenta una funzione continua di x : ma si può provare che essa 

 non è convergente uniformemente in alcuna parte dell'intervallo 1. 



Si noti che la <p n (\k.x) è nulla nei punti x=tt dove h é un intero 



' — \rC 



qualsivoglia e che i punti di massimo, nei quali essa ha il valore 1, sono 



i punti 



a h 



ti Ak \k 

 dove a é il più piccolo arco positivo il cui seno é 



V »i/2 



