Si formi 

 S n {x) = 



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(p n {x — a[ 1] , /j) 

 (p n (x — a ( ?\ / 2 ) H- $„(a? — a^ 2) , / 2 ) 



-+■ (p n (x — a[ n) , 4) -i- (p n (x — a^\ L) H +■ (pn{oc — agU , l n ) 



dove ai 1 ' e il punto di mezzo dell'intervallo di lunghezza l x ; ai 2) , ajf' sono 

 i punti di mezzo degli intervalli di lunghezza l 2 e cosi via : a[ n) , ai,"', ... a'»'-, 

 sono i punti di mezzo degli intervalli di lunghezza l n . 



La S n (x) é continua in 0...1 e al crescere di n converge verso zero 

 per ogni x fìsso : giacché se x è un punto di un intervallo (i) qualsiasi, 

 un solo termine al più della precedente somma é diverso da zero e que- 

 sto termine tende a zero, come é evidente dell'espressione della <p n , al cre- 

 scere di n . Se x non é punto di alcun intervallo («'), allora tutti i termini 

 della S n (x) sono nulli. 



Si noti che una qualunque <fi n (x — a { /\ l/) é sempre positiva, diviene 



nulla nei punti x = al i] , x = a^ ±-£, indipendentemente del valore di n. 



Essa ha due punti di massimo, equidistanti dal punto di mezzo a\ J) e 

 approssimantisi indefinitamente ai rispettivi estremi 



1 «U)_i_2 



2" l 2 



a tf)_-.£... a U)_t-2 



al crescere di n : giacché il punto di massimo a destra del punto di mezzo 

 é dato dalla condizione 



^ n{x — a{) 1 1 1/ l\ì 



Si vede inoltre che i valori massimi medesimi crescono con n oltre 

 ogni limite. 



I punti estremi dell'intervallo 



2 " 



a U) _ a-. . . a { , J) -J- 2 



sono dunque tali che la (p n (x — a\ J) , lj), in prossimità di essi al crescere 

 di n può prendere valori grandi a piacere. 



Ciò premesso, sia fissato il solito a e un m a piacere. 



