— 171 — 



Si consideri una somma S n (x) corrispondente a un n > m , vale a dire 

 a un certo insieme di tratti (lj). 



Gli estremi di tali tratti e i punti medi sono punti di zero per la S„(x) 

 giacché in essi tutte le <p n componenti la S n (x) sono nulle. 



Si segnino i tratti in cui essa S n (x) é minore di a: essi, che indiche- 

 remo con d { i l) , saranno in numero finito e ben determinati : nei tratti rima- 

 nenti di n) sarà S n (x) maggiore e eguale a a. 



Si faccia crescere n : i tratti dove è \S n (x)\'>_o- debbono in totalità im- 

 piccolire indefinitamente e insieme, per quanto s' é detto sopra, avvici- 

 narsi ai punti estremi dei tratti che via via sì considerano nella forma- 

 zione della S n (x). 



È manifesto che se si considera un primo sistema di tratti d^ e d% l \ 

 corrispondenti a un certo n e che insieme riempiono tutto l'intervallo: 

 poscia se ne considera un secondo sistema d[ n ~ hpì , d { 2 n ~*~ p) corrispondenti 

 a un valore n-\-p, se questo è abbastanza grande i d { 2 n ~ i ~ p \ nei quali é 

 \S„_ i _ p (x)\'^_ a, saranno contenuti interamente nei d^, nei quali é l-S^^c)] <(7: 

 dimodoché mediante i tratti 



si ha certamente una linea, a tratti staccati, e percorrente l'intero intervallo 

 in ogni punto della quale é l'una o l'altra delle due 



| o n \X) j , |O w _|_p(#?)| 



é minore di a. 

 La serie 



S^x) ■+■ (S 2 (x) — S { (x)) h h (S n (x) — Sn^ix)) -+- • • • 



ha dunque la convergenza uniforme a tratti. 



III. 



i. — Funzioni egualmente continue. — Nell'ipotesi che esista determi- 

 nato 



lim S n {x) = S(x) 



per ogni x in a...b, si è veduto che la condizione necessaria e sufficiente 

 per la continuità della S(x) è la convergenza uniforme a tratti della S n (x) 

 verso la S(x). 



Si presenta naturalmente la domanda : la convergenza uniforme ordì- 



