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naria in una serie di funzioni che cosa produce di pia delia semplice con- 

 tinuità in x ? 



È facile la risposta. Considereremo al solito la funzione generale delle 

 due variabili x e y : supponendo che per ogni valore y s fìsso (y 1 ,y 2 -.- es- 

 sendo numeri tendenti al limite y ) \& f(x , y s ) sia una funzione di x con- 

 tinua in a . ..b . 



Pongasi che la f(x, y ) abbia, in ogni punto (x, y ), (a<3C<.b),, la 

 continuità assoluta rispetto alle due variabili x e y. 



Per ciascun punto (x\ y ) si potrà determinare un intorno compren- 

 dente tutti i punti (xy) pei quali x cade fra x' — d e x'-r- e e y é uno 

 qualunque dei numeri susseguenti y s : e per (x , y) cosi preso sarà 



\f(x , y ) —f{x , y,+ p ) | < a 

 e anche 



7) l/(^> y«+a) — /(«> ^-w)| < O" 



(&ìys-ì-q)-> {oc,y s _±. p ) essendo due punti qualunque di quell'intorno. 



Ora, con un ragionamento ben noto, si dimostra che si può determi- 

 nare un intorno della forma di quello di dianzi, il quale serve per tutti i 

 punti (x, y ) a rendere soddisfatta la relazione y) : dimodoché si può, scelto 

 a piacere un a, fissare poi un y s tale che essendo y s ^. p un valore qual- 

 siasi susseguente a y s + p si abbia 



d) \f(x,ys)—f{oc,y s + P )\<J. 



Viceversa, preso un numero a a piacere, suppongasi che esista un valore 

 y s , pel quale é verificata la d). 



Allora si vede intanto che esiste, per ogni x, determinato e finito il 



\imf(x,y s )=f(x,y o y 



Vs = Vq 



e inoltre in ogni punto (x, y ) vi è la continuità assoluta. 



La condizione d) è dunque la condizione necessaria e sufficiente per la 

 continuità assoluta della f(x, y), definita come sopra è detto, in ogni 

 punto (x , y Q ) . 



Applichiamo ciò alle serie di funzioni prendendo di solito 



(x , y s ) = 2XO) e I/o = °° 

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