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La condizione d) equivale qui all'altra 



n n-^-p 



2>,.(a?)— JX(a?) 

 1 i 



Tj ll r(x) 



<d 



vale a dire alla convergenza uniforme ordinaria : la quale è dunque la con- 



n 



dizione necessaria e sufficiente affinchè la S„(x) = 2u r (x) , riguardata come 



i 



funzione delle due variabili n, e x, abbia la continuità assoluta in ogni 

 punto (ce , x) . 



Così é messa in luce la differenza tra la proprietà, che é prodotta in 

 una serie di funzioni continue dalla convergenza uniforme a tratti e quella 

 che vi è prodotta dalla convergenza uniforme ordinaria. 



Nel classico libro più volte citato: / fondamenti etc. il prof. Dini de- 

 finisce : (pag. 103). 



Una serie Zu n di funzioni di x, convergente per ogni x dell'intervallo 

 a...b, dicesi ivi convergente in egual grado semplicemente quando per 

 ogni numero positivo e arbitrariamente piccolo a e per ogni numero m' 

 esiste un numero intero in non inferiore a m' e tale che per tutti i valori 

 di x in a...b il resto R m corrispondente a quel numero m sia, in valore 

 assoluto, minore di & : e cosi si può asserire che una serie convergente 

 in egual grado in a...b lo sarà sempre anche semplicemente, ma, almeno 

 per ora, non si può affermare in generale la cosa inversa. 



Il prof. Volterra, studente ancora, diede per primo esempi di serie con- 

 vergenti nel modo ora detto, nella nota : Alcune osservazioni sulle funzioni 

 punteggiate discontinue (Giornale di Battaglini 1879). 



Il prof. Dini (pag. 110 e 386) dà le proposizioni: la somma di una 

 serie di funzioni continue è continua, se vi è la convergenza in egual grado 

 semplice: la somma di una serie di funzioni integrabili è nelle stesse con- 

 dizioni, integrabile. 



Il sig. Bendixson nella recente nota: Sur la convergence etc. etc, 

 già citata, aggiunge le altre proposizioni : 



a) Se la convergenza di una serie di funzioni 



Od 



<P&) = E/v(* 



v = l 



dove tutte le f v sono funzioni continue di in x in a . . . @ è semplicemente 

 uniforme e se 



v =1 J-a 



