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 è convergente, a e b essendo dei valori di x nelV intervallo, si avrà 



ri oc rb 



<p(x)dx = 2 \f(x)dx . 



J a v = 1 ,/ a 



b) Se 



©o 



<?(*) = E/v(«0 



v = l 



e w/ia serie convergente per x < b < /? e /«/e e/ie £w#e /e f v so^o delle 

 funzioni continue, aventi derivate f v ', />e/° questi stessi valori di x e se 

 irtoltre 



oc 



#*) = 2/ v '(a0 



e wrca serz'e convergente la cui convergenza è semplicemente uniforme in 

 a . . . 8 , si avrà 



cp'(x) = ip(x) . 



Vogliamo notare che queste proposizioni si possono ottenere immedia- 

 tamente, quando si consideri che una serie di funzioni per la quale si 

 presuppone determinato il lim S n (x) e inoltre la convergenza del Dini, si 



può sempre metter nella forma di una serie dotata della convergenza uni- 

 forme ordinaria. 



co 



Invero sia 2u n (x) determinata in ogni punto x tra a e b , sia inoltre 



convergente semplicemente secondo il Dini: da ciò segue intanto che la 

 ?M n (x) é anche finita. 



Sia a l , <7 2 , o" 3 , ... una successione di numeri positivi decrescenti inde- 

 finitamente. 



Vi é un numero m l tale che 



| B mi (x) \<v l : 

 vi è un m s , pel quale é 



| Rmioc) | < a % 



e cosi via ; vale a dire, se é 



S(x) = lim S n (x) 



