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 di una serie avente la ordinaria convergenza uniforme e quindi sarà 



u[(x) H h U my (x) -4- U nh (x) ~h U' l)hìl (x) -+- U' m ^{x) -4- •• • = S'(x) 



epperó 



■i]j(oc) = S'(x) . 



2. — Le successioni di funzioni sin qui considerate e di cui abbiamo 

 studiato i varii modi di convergenza ad una funzione limite continua, si 

 componevano di funzioni continue, e nel caso della ordinaria convergenza 

 uniforme vi é luogo ed aggiungere un'oss'ervazione che è essenziale. 



Sia 



u/x), u 2 {x) , . . . u s (x) , . . . 



la successione determinata di funzioni continue, convergenti in egual grado 

 alla funzione continua u(x). 



Sia preso un numero positivo a piccolo a piacere ; vi sarà un numero 

 intero in tale che, per tutti gli x, sia 



j Uìn-%-p\X) ■ - U m \X) | <^ (7 



per ogni m~\-p^> in. — La u m (x) essendo continua, in ogni tratto di am- 

 piezza minore di un numero assegnabile d, farà un'oscillazione che é mi- 

 nore di <t e ognuna delle susseguenti 



Um-if.\\X) , Um-\-2\X) , • • . 



ne farà una minore di Sa. — Le funzioni 



u x (x) , u 2 (x) , ... u m _ 1 (x) 



precedenti la u m (x) sono in numero Anito e per esse si può trovare un 

 numero d tale, che in ogni tratto minore di d ognuna oscilli per meno 

 di 3o-, e cosi si avrà che in ogni tratto minore del più piccolo dei due 

 numeri d e d Q tutte quante le funzioni 



u x {x) , u 2 (x) , ... u s {x) , .. . 



oscillano per meno di 3a . 



Ora se, comunque scelto un g, esiste poi sempre un numero positivo d 

 tale che in ogni tratto di ampiezza minore di d, infinite funzioni Uj(x) , 

 u 2 (x) ,... facciano un oscillazione minore di a, si dirà che esse sono egual- 

 mente continue. 



