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Per conseguenza la ordinaria convergenza uniforme in una successione 

 di funzioni continue porta la eguale continuità di esse. È vera la reci- 

 proca ? 



Ma possiamo proporci una questione più generale. 



Sia v{x) una funzione comunque data in a..,b; avente però ivi limiti 

 superiore e inferiore finiti. 



Due altre funzioni <p(x) e ip(x) tali che per ogni x in a...b si abbia 



(p(x) < v(qc) < ip(x) 



determinano un intorno della v(x). 



Ciò posto, abbiasi una varietà che indicheremo con G = \u(a?)\ di fun- 

 zioni u{jc), definite comunque mediante una certa legge, in a...b: sog- 

 gette alla sola condizione di essere tutte contenute fra due numeri finiti 

 l e l: 



Se prese comunque le due <fi(x) e ip(x), che soddisfino alla relazione 

 precedente esistono poi infinite funzioni u(x) della G, tali che sia 



(p(x) < u{x) < ìl'(x) 



si dirà che la v(x) é una funzione limite della varietà medesima ; v(x) po- 

 tendo anche non appartenere alla varietà. 



Ora ecco la questione che possiamo proporci : guai' è la condizione af- 

 finchè una data varietà G ammetta una, o più, o anche infinite funzioni 

 limiti egualmente continue ? 



Vi siano queste funzioni limiti egualmente continue o almeno ve ne 

 sia una. 



Sia (7 un numero positivo piccolo a piacere : esisterà un numero d tale 

 che in ogni tratto di ampiezza minore di d, ognuna oscillerà per meno di a. 



Per ciascuna di queste funzioni limiti si fissino due funzioni, tra le quali 

 essa cade per intero e discoste dalla medesima in ogni punto per meno di ov 



Dentro ognuno degli intorni cosi determinati sono contenute infinite 

 funzioni della varietà e queste, in ogni tratto di ampiezza d oscillano per 

 meno di 3cr. 



Si può dunque dire in generale che preso - a piacere, si trovano poi 



sempre nella varietà G infinite funzioni, ognuna delle quali, in ogni tratto 

 di ampiezza assegnabile d, oscilla per meno di a. 



Tutte le funzioni appartenenti alla G e dotate di questa proprietà co- 

 stituiscono una sotto-varietà che indicheremo con G(a). 



Per ogni a che si fissi, esiste una corrispondente varietà siffatta G(a) ; 



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