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ed é da osservarsi che se a l é un numero positivo minore di a, la va- 

 rietà 6r(<7 1 ) sarà contenuta nella varietà G(o). 



L'esistenza della varietà G(o~) è dunque condizione necessaria perché 

 esistano delle funzioni limiti, le quali, quando siano in numero infinito, 

 siano egualmente continue. 



Mostriamo che essa é anche sufficiente. 



Preso a piacere il solito or, resulti dunque fissata la varietà GÌ-) di 



tutte le funzioni che in ogni tratto di ampiezza d fanno una oscillazione 



minore di - . 

 4 



Si consideri il valore assoluto 



| u{x , t/s+p) — u{x , y s + q ) | 



della differenza tra due qualunque di quelle funzioni : in qualche punto x 

 esso potrà essere minore di 2a, in altri eguale o maggiore. 

 Scegliamo fra le funzioni della varietà quelle 



7) < x > y*+ r) , u(x , y s + r ) , . . . 



tali che la differenza 



| u{x , y, +rp ) — u(x , y s +r q ) | 



tra due qualunque di esse é, in qualche punto x, maggiore o eguale a 2(7 

 e mostriamo che il gruppo y) contiene solo un numero finito di funzioni. 

 Poiché, per ipotesi, le 



ll\X , l/s-i-r,) , U[X , (/s-i-r,) j • • • 



0" 



in un tratto minore di d fanno, ognuna, un'oscillazione minore di -, cosi 



(7 



una qualsiasi di esse potrà fare un'oscillazione maggiore di -, solamente 

 in un tratto che sia maggiore di d : quindi se x è un punto in cui é 



| u(x , y s + rp ) — u(x, y s +r q ) | > Se- 

 vi sarà tutto un tratto almeno eguale a d in ogni punto x del quale le due 



u(oc,y s +r P ), u{x,y s ^.r ( ) 



Sa 

 sono discoste fra loro per una quantità che è maggiore o eguale a — . 



Ciò premesso pongasi, se é possibile, che le y) siano un numero infinito. 



