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4o-, nei quali è contenuta la varietà g(-j : poi gli intorni a) di ampiezza 

 4o 2 nei quali cade la Gl—ì : e cosi via. 



Per quanto si é detto, é manifesto che vi è almeno uno degli intorni a), 

 che contiene uno degli a') e questo uno degli a") e cosi indefinitamente. 



Si considerino i gruppi di funzioni contenute in questi intorni, ognuno 

 interno al precedente. 



Indichi u{x,y [l) ) una delle funzioni appartenenti al 1° di tali gruppi: 

 u(x, y' 2) ) una appartenente al 2° gruppo e differente dalla precedente e 

 cosi via. Ad es. si può prendere in ciascun gruppo quella che in uno de- 

 gli estremi é più discosta dall'asse delle x. 



La successione delle funzioni 



h) u{x,y [ì> ), u{x,y {2] ), 



converge evidentemente in egual grado ad una funzione (p(x), che può 

 riguardarsi come somma della serie 



«(«, y i}] ) ■+■ («(«, y {2} ) - «(«, ^)) -+-••• 



Si vede poi subito che <p(x) é continua osservando che, preso e piccolo 

 a piacere, si ha per ogni x 



\<p(x) — u(x , y'^)\ <e 



se n è abbastanza grande; e la a(x,y [n) ) facendo un'oscillazione minore 

 di e in ogni tratto di ampiezza minore di d\ la <p(x) oscillerà per meno 

 di 3e in ogni tratto minore di d'. 



Con ciò é dimostrata che la condizione enunciata é sufficiente per l'e- 

 sistenza di una funzione limite continua. 



3. — Facciamo l' ipotesi che le funzioni componenti la varietà G siano 

 tutte continue neh' intervallo in cui si considerano, e inoltre, che possono 

 disporsi in una successione ordinata 



u x {x) , u 2 {x) , . . . u m (x) — 



Vi sia un'unica funzione limite continua. — Preso il solito a si tro- 

 verà allora che ognuna delle 



in ogni tratto di ampiezza assegnabile d oscillerà per meno di a e poi- 



