— 182 — 



che, in ogni tratto di ampiezza pure assegnabile d\ oscillerà per meno 

 di a anche ognuna delle 



u x {x) , u 2 (x) , . . . u m {x) , 



cosi tutte quante le funzioni della successione in ogni tratto di ampiezza 

 minore del minore dei due numeri d e d' oscilleranno per meno di a ; 

 vale a dire, saranno egualmente continue: inoltre la differenza tra due qua- 

 lunque delle a) sarà pure minore dì a. — E queste condizioni saranno 

 pure sufficienti per l'esistenza di un'unica funzione limite continua. 



Se nelle funzioni date, o almeno in infinite di esse, si avrà solamente 

 la eguale continuità, esisterà una funzione limite continua, ma non si 

 potrà dire che essa sia unica. 



4. — Quest'ultima osservazione mette in luce l'importanza che ha la 

 considerazione della eguale continuità nelle successioni di funzioni continue. 



Per riconoscere questa eguale continuità possiamo dare un criterio suf- 

 ficiente. 



Una varietà infinita di funzioni, sarà egualmente continua, se il rap^ 

 porto incrementale l * ] 



u(x x ) — U(3C 2 ) 



di una qualunque u(x) di esse è sempre, cioè per tutti i valori di x l e x 2 

 possibili nell'intervallo a.-.b, compreso tra due numeri finiti e determinati 

 l e L. 



Sia \L\ il maggiore dei due numeri |/| e \L\. — Indichi h un tratto 

 arbitrario nell'intervallo a...b: x x e x 2 i punti di massimo e di minimo 

 della u(x) nel tratto h : si avrà : 



^ u{x x ) — u(x 2 ) ^ j m 

 quindi 





U(3G.) — u(x 2 ) , , T 





donde 



u(x x ) — u(x t ) < 1^ — x 2 \ . \L | 

 e anche 



D vJl <h\L\ 



indicando D Ui h l'oscillazione della u{x) nel tratto h. 



(*) Vedi la mia memoria . Sulle funzioni di linee. (Accademia delle scienze di Bologna 1895) 



