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Poiché ciò vale per qualunque funzione u{x) della varietà, cosi rimane 

 provalo che preso a a piacere, in un tratto qualsiasi h la cui ampiezza 



sia minore di r^r, fanno tutte un'oscillazione inferiore a a. 



Come é noto '*', i valori che il rapporto incrementale 



u(x -\-h) — u(x) 

 h 



di una funzione u(x) per tutti i possibili valori di a? e x-\-h, nell'intervallo 

 a ...b può assumere, rimangono sempre compresi tra i due limiti supe- 

 riore e inferiore in a...b degli estremi oscillatori del rapporto medesimo. 

 Per conseguenza, se M tl e m u rappresentano questi limiti, superiore e in- 

 feriore per una funzione u{x) della varietà, i due numeri l e L dovranno 

 esser tali che si abbia 



l < m u <M n <L 



qualunque sia la u(x). 



5. — A riconoscere poi se la varietà G di funzioni considerate è con- 

 tenuta in un campo finito, giova la riflessione seguente. 



Se per ogni funzione u(x) della varietà é soddisfatta la condizione 

 espressa dalla diseguaglianza 



^ u(x -+- h) — u{x) ^ 



e inoltre si sa che in qualche punto x, variabile anche da funzione a fun- 

 zione, ognuna delle uix) ha un valore assoluto inferiore a un numero 

 fìsso A, si può concludere che tutte le u(x) sono contenute tra limiti finiti. 

 Invero, dalla 



u{x -+- h) — u{x) ^ 



h — L 



per h > si trae 



u(x -+- h) < u(x) -h hL 



e se x è il punto di minimo valore assoluto 



\u(x-{-h)\ <A-h{b — a)\L\ ; 



per h < , si avrà 



u(x -+- h) < u(x) -+- hi 



(*) Vedi D i n i : Fondamenti etc. 



