— 184 — 



donde 



| u(x -+- h)\ <A-h(b — a)\l\ . 



Se in posto della condizione espressa dalla 



^ u(x ■+- h) — u(x) ^ 



è verificata semplicemente l'altra, che preso a piccolo a piacere, sempre 

 si trova nella varietà data un gruppo G{o) di funzioni, che in ogni tratto 

 di ampiezza assegnabile d oscillano per meno di a, allora, se é pur sem- 

 pre vero che in qualche punto x, ciascuna funzione é, in valore assoluto, 

 minore di A, si può ancora dedurne che tutte le funzioni del gruppo G{a) 

 cadono in un campo finito : perché se é 



pd~>_b — a , 



ciascuna u(x) sarà contenuta tra 



A -+- pò e — A — pò . 



Se comunque preso grande il numero positivo A vi é sempre nella va- 

 rietà, che si considera, qualche funzione la quale in ogni punto ha un va- 

 lore maggiore di A, allora si potrà, convenire che funzione limite di tali 

 funzioni sia la 



IJ—CO. 



Dimodocché, se per una data varietà è verificata la condizione 



j ^ u{x -+- h) — u(x) ^ T 

 — h — 



ovvero V altra dell' esistenza del gruppo G(o), come dianzi è detto, si potrà 

 asserire senz'altro che esiste sempre almeno una funzione limite continua 

 nel senso dianzi spiegato : quando si voglia riguardare come tale anche la 

 y = co per ogni x. 



6. — Applichiamo queste considerazioni alle serie di funzioni. 

 Sia primieramente 



U x (x) -+- U 2 (x) H 



una serie di funzioni, della quale solamente è presupposto che per ogni 



