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valore x e per ogni m si abbia 



S m {x) 



2 Un(&) 



<L 



con L finito. 



In tale ipotesi, la condizione necessaria e sufficiente affinché le S^x), 

 S (x) , • • • S m (x) , . . . ammettano almeno una funzione limite continua, é che 

 nel senso spiegato precedentemente, preso un a a piacere, si possa poi 

 sempre trovarne infinite che in ogni tratto di ampiezza minore di d, numero 

 positivo, oscillino per meno di a. 



Se si aggiunge l'ipotesi che esista determinato e quindi anche finito il 



lini S m (x) , 



allora Ja condizione si riduce a questa : che preso il solito a si trovi poi 

 un intero in tale che tutte le 



in ogni tratto di ampiezza minore di d oscillino per meno di o. 



7. — Poniamoci nel caso che le u^x) , ... u n {x),... siano tutte continue e 



u n (x-¥- h) — u n ( x) 



2 



h 



per ogni m e per ogni x e x -t- h nell'intervallo sia sempre in valore as- 

 soluto inferiore a un numero finito : allora le 



S^x) , S 2 (x) , ... 



saranno tutte egualmente continue. — Se inoltre esiste un numero posi- 

 tivo A siffatto che, in qualche punto variabile anche da una delle S m (x) 

 a un altra, si abbia 



a) 



I S m (x) I < A 



(') Se non è soddisfatta la condizione espressa colla disuguaglianza a) vorrà dire che tra le S m {x) 

 ve n' è sempre qualcuna che in valore assoluto supera, in ogni punto x, qualsiasi numero assegnabile. 

 La serie «. 



Hu n (x) 

 ì 



sarebbe allora, in ogni punto a?, indeterminata o divergente. 



Serie V. — Tomo Vili. 24 



