- 704 — 



Si considerino ora i tratti d, esistenti in queste parti, sopra la retta 

 yz=y Si _ i _ 1 e si elevino le perpendicolari negli estremi di essi. Si può ripe- 

 tere il ragionamento di dianzi. Ci sarà una di queste perpendicolari che 

 incontra infiniti tratti d e allora si ha ciò che si cerca : ovvero, si trova 

 una retta y = y s , tale che dei tratti d esistenti sopra le successive nes- 

 suno incontra più alcuna delle perpendicolari. Allora, tra le striscie limi- 

 tate da queste perpendicolari e aventi per basi rispettive i tratti d dianzi 

 detti sulla y = y Si _ Jhl ve ne é almeno una dentro la quale, sopra infinite 

 rette, cadono tratti d la cui somma é, per ognuna maggiore di un de- 

 terminato numero, diverso da zero, ovvero, ciò non è: e in tal caso si 

 troverà una retta y = y S2 tale che dei tratti esistenti su ciascuna delle 

 rette y = y S2 _ { _ 1 . y Si ^.- 2 ,... dentro tutte le striscie sin qui considerate, ne 

 cadrà una somma minore di s : tantocchè nelle parti rimanenti sopra 

 ognuna di queste rette, dopo tolte le ampiezze di tutte le striscie e la cui 

 somma è b — a — d x — rf Jl+ i + ^ 1+ if, cadranno dei tratti <5, la cui somma 

 è d 5 . 2 _,_i — # S2 _,_i£, 4 2 _t_2 — St + a e,... rispettivamente: le 6 essendo qui pure 

 numeri compresi tra e 1. 



Si vede che, continuando per questa via, o si trova una perpendicolare 

 che incontra infiniti tratti d, o una delle striscie che via via si costruisco- 

 no, la quale contiene, dentro di sé, sopra infinite rette, sempre una deter- 

 minata somma di tratti d. 



Invero, ciò non avvenga. 



Sia per ipotesi 



(p — l)d < b — a < pd 



con p intero; nel seguito dell'operazione di dianzi, si perverrà necessa- 

 riamente a trovare una retta y = y Sp tale che sulle rette seguenti, dentro 

 parti dell' intervallo la cui somma é 



b — a — d 1 —d Sl _ i _ 1 -+-0 S} _ i _ 1 e—d S2 _ i _ 1 -^0 Si + 1 e d Sp _ 1 _ hl -^d Sp _ 1 ^. 1 e < 



<C b — a — pd~\-(p — 1 )e 



cadranno dei tratti d la cui somma é c4 p _j_i — 0^^^, dg^o, — Sp ^. 2 £ ri- 

 spettivamente. 



Ma e arbitrario può essere stato scelto cosi che sia 



pd — (b — a) . d 

 e < —- < 



p — 1 — p — 1 



