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 b — a, d, p numeri determinati; e allora, poiché é 



pd — (b — a) 



> d 



p — \ 



b — a — d 



> t— >0 



p — \ 



e 



b — a — pd -+- (p — 1 )e < b — a — pd-+-(p — 1) ^ _7~ < ° : 



cesserebbero dunque di esistere le parti dell' intervallo, le quali dovreb- 

 bero pur sempre contenere un insieme di tratti d, di somma maggiore 

 di zero. 



Rimane provato che si deve trovare o la perpendicolare, che incontra 

 infiniti tratti d, ovvero una striscia avente a base un tratto d e limitata 

 lateralmente dalle perpendicolari agli estremi di questo, dentro la quale, 

 sopra infinite rette, giace sempre un insieme di tratti d, di somma mag- 

 giore o eguale a un determinato numero d' . 



Si ragioni su questa striscia, come si é sin qui ragionato sufi' intero 

 intervallo b — a: o si troverà, dentro questa striscia, una perpendicolare, 

 alle rette che si considerano, la quale incontra infiniti tratti d, o se no, 

 una striscia, avente a base uno dei tratti d interni, dentro la quale, sopra 

 infinite rette, vi é sempre una somma di tratti d\ maggiore o eguale a un 

 determinato numero d" maggiore di zero. 



Cosi procedendo, se non si trova mai una delle perpendicolari via via 

 condotte per gli estremi dei tratti d, la quale incontri infiniti di questi, si 

 costruiranno però quante striscie si vogliono, interne le une alle altre e 

 aventi ciascuno a base uno dei tratti d\ 



Se x x , x. 2 , x 3 , ... sono gli estremi inferiori di queste basi : x\, x 2 , x 3 ,... 

 gli estremi superiori, si avrà 



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Vi sarà dunque un limite Xoo pei- la prima successione e un limite x^ 

 per la seconda e sarà 



Se é Xoo < oc'oo , la perpendicolare elevata in un punto qualunque del 

 tratto Xoo---S0oc incontrerà infiniti tratti d : se é x !X> = x' (>0 , sarà desso si- 



