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diramente un punto avente analoga proprietà: la retta x=^x oc , incontra 

 le basi di tutte le strisele menzionate. 



Ciò premesso, entriamo nell'argomento propostoci. 



3. — Sia, f (ce , g) una funzione delle due variabili x e g definita per 

 ogni valore x nell'intervallo a...b e per ogni g s appartenente a un gruppo 

 di numeri g l , g 2 , g 3 . . . , i quali ammettono per unico numero limite g . 



Se per g si intende sostituito uno qualsiasi dei numeri g s , la funzione 

 di x, che cosi resulta, sia finita e atta all' integrazione tra a e b e in cia- 

 scun punto x ivi sia determinato e finito il 



\imf(x, g s )=f(x, g ). 



Vogliamo ricercare la condizione necessaria e sufficiente affinchè la f{x, g ) 

 sia atta all'integrazione tra a e b. Per la \f(oc,g Q )\ è presupposto un li- 

 mite superiore finito. 



Suppongasi primieramente che J(x,g ) sia atta all'integrazione. 



Mediante un numero finito di tratti t 13 t sì ...t p di somma minore di e, 

 numero prefissato piccolo a piacere si rinchiudano tutti i punti nei quali 



la f(x, g ) fa un'oscillazione { *> maggiore o eguale a -, a essendo piccolo 



a piacere : si segnino gli estremi di tutti quei tratti, e questi estremi pos- 



o 



sono essere scelti in modo che in essi l'oscillazione sia minore di -. 



4 



Sia x un punto preso in una delle parti rimanenti: in esso l'oscilla- 



<j 



zione é minore di - : vi sarà un'intorno di x, nel quale l'oscillazione è 



4 

 (j 

 pure minore di —. Di siffatti intorni essendovene infiniti, esisterà per essi 



un intorno che ne é il limite superiore, nel quale l'oscillazione sarà al più 



(7 



eguale a - ; ma in ogni intorno, più piccolo e contenuto in esso, sarà 

 4 



minore. 



Nella parte che si considera, l'intorno limite superiore cosi determinato 

 può riguardarsi come una funzione di x : come tale ha ivi un limite in- 

 feriore; vi sarà dunque il punto di Wejer Strass: sia desso <x Q . — An- 

 che pel punto x vi sarà un'intorno dentro cui l'oscillazione é, come dianzi, 



(7 



al più eguale a -; inoltre in un tratto qualsiasi più piccolo contenuto in 



, • 4 ,- a 

 esso sarà minore di - . 



4 



(*> L'oscillazione in un punto x' è il limite dell'oscillazione nel tratto x' — 8 ••• #'-+- 8' al decre- 

 scere di 8 e 8'. 



