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Se un tale intorno é ad es. x — d • • ■ x -\- e , ne segue che x' essendo 



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un punto qualunque interno al tratto x — -~ • ■ • x -+- -£■ , per esso x' serve 



l'intorno x — -£ • • • x-\--£ a. darci un'oscillazione minore a -; un'intorno 



cosifatto serve quindi, anche per ogni altro punto della parte considerata. 

 Poiché le parti rimanenti, dopo tolti i tratti t y , t 2 , . ..t p sono in nu- 

 mero finito, si conclude che esiste un tratto di ampiezza finita A tale 

 che per ogni x preso in una di tali parti sia 



\f(x-hd,y ) — f(x,y )\ <^ 



se è P| <A e se anche il punto x -+- d cade dentro la parte, in cui è 

 preso il punto x. 



Parimente, sulla y=iy s si segnino i tratti t[ s) , rf, . . . r ( q sì di somma mi- 

 nore di £, i quali contengono i punti dove f(x, y s ) fa un'oscillazione mag- 



giore o eguale a - : e si troverà poi in modo analogo un numero A s tale 



che per ogni punto x in una delle parti rimanenti sulla y = y s dopo tolti 

 i tratti x[ s) , tì s) , . . . rlf, si abbia 



\f(x -+- d , y s ) —f{x , y z ) \ < - 



per ogni \d\ < A s . 



Si immagini di sopprimere dall'intervallo a...b i tratti t' oj e i t' sì ; il 

 minore dei due numeri A e -X e che indicheremo con A 05 , sarà tale che 

 per ogni punto x preso in una delle parti rimanenti nella quale si trovi 

 anche il punto x -\- d e per ogni 1^1 < A M siano verificate le due disu- 

 guaglianze 



\f(x -+- d , y ) —f(x , y ) | < - 

 \J(x -4- d , y s ) —f(x , y s ) | < - : 

 dimodoché se in uno di questi punti x sia 



a) \A& > y ) —f(&, y s ) | > o , 



vi sarà tutto un fratto determinato x — \, s -> x-ì-\, s nel quale preso un 

 punto se -+- h , si ha 



3) \f(x-t-h, y )—f(9D-^h,y s )\ > | . 



Solamente se il punto x sarà un estremo dalla parte che si considera, il 



