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"tratto ora detto potrà ridursi al tratto x . . . x -+- \ ìS , ovvero ali' altro 

 -x — \ s .-.X. 



Per ogni c7 e e che si scelga, esisteranno sopra ciascuna retta y = y s 

 simili tratti in cui é verificata, in ogni punto, la @). 



Il numero di questi tratti potrà evidentemente variare con y s e anche 

 crescere indefinitamente al tendere di y s a y . 



Consideriamo i punti x nei quali per un certo y s é verificata la a). In 



o 



essi le due f(x, y ) e f(x , y s ) fanno un'oscillazione minore di -, ovvero 



una almeno di esse ne fa una maggiore o eguale. Nel primo caso tali 

 punti x apparterranno ai tratti in ogni punto dei quali sussiste la @): nel 

 secondo, essi cadono certamente nei tratti t' 0) e z' s \ già esclusi, e che rin- 

 chiudono tutti i punti nei quali la f(x, y Q ) e la f(x, y s ) fanno oscillazioni 



maggiori o eguali a - . 



Ciò posto, si fissi piccolo a piacere un numero positivo a e si scelga 

 uno qualunque y s dei valori y l , y 2 , y 3 , . . . ; il gruppo dei punti x, nei quali 

 per ogni valore J s ^-i , Js^.2 , y*-i-3 > • • • : ^ a f ( x > y»-+-i>) f a uri oscillazione mag- 



giore o eguale a -, ovvero, se ne/a una minore, si ha |f(x, y ) — f(x, y s ^. P )\ > <J, 

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è r inchiudibile. 



Invero, sia e un numero positivo piccolo a piacere. 



Il gruppo dei punti x dei quali si tratta può essere considerato sopra 

 una qualunque delle rette y = y s _^_ lì r/^^o--- e sopra ognuna rimane im- 

 mutato : vale a dire se un punto x appartiene al gruppo, vi appartiene 

 ognuno dei punti {x,y s _+.i), [x, y s ^_ 2 ), . .: situati sopra le rette y = y s _^ x , 

 y s _ i _ 2ì ... rispettivamente: dimodocché la rinchiudibilità del gruppo sarà sta- 

 bilita, quando lo sia per una qualsiasi di tali rette. 



Ora i punti componenti il gruppo sopra la y = y s _^_ p cadono dentro i 

 tratti Tg+p e dentro gli altri t ,0 \ t' s "^ pì : i tratti t 0) e t' s ~*~ i> \ essendo per 

 ipotesi integrabili la f(x, y ) e J{x, y s -±. P ) , possono rendersi di somma mi- 



nore di - : ai tratti t' s ^_ p é applicabile la proposizione del n. 2 della Pri- 



ma Parte della presente memoria : epperó se y s ^- P e abbastanza prossimo 



a y , essi pure avranno una somma minore di -: cosi rimane provato che 



il gruppo può contenersi in un numero finito di tratti di somma minore di e. 



Fissato dunque a piacere un numero positivo a e un numero y s , si 



rinchiudano mediante un numero finito di tratticelli t 1 ,t 2 ,...t jP di somma 



piccola a piacere i punti in cui la f(x, y ) fa oscillazioni maggiori o 



o 

 o eguali a - e anche i punti di cui si tratta nella proposizione ora di- 

 mostrata. 



