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Siano a x ...b x , a 2 . .. 6 2 , ...«„... 6„ , le parti rimanenti. Sia x un punto 

 preso in una di esse. Tra y s e y esisterà certamente uno o più valori y s ^. pr 

 per ciascuno dei quali é 



\J(x , y ) —f(x, y s + p ) | < (T 



G 



e contemporaneamente, f(x, y s ^. P ) fa un'oscillazione minore di -; giac- 

 ché, se ciò non fosse, il punto x, che si considera, apparterebbe al gruppo 

 che abbiamo rinchiuso nei tratti t 1 , t 2 , . . ,t p . 



Per ciascuno di siffatti valori y s ^. p esisterà perciò un intorno assegna- 

 bile del punto x, da x — d Vt+p a x-{-d ys+p (che potrà ridursi a x...x-^d Vs+p 

 ovvero a x — d ys+p ...x quando il punto x sia un estremo della parte che 

 si considera) tale che in ogni punto x di esso si abbia 



3(7 



I/O, y } —A&, y*+p)\ < ~2 ■ 



Ora qui si può ripetere un ragionamento analogo, per non dire iden- 

 tico, a quello tenuto al n.° 4 della Parte Prima di questa memoria : e 

 cosi pervenire alla conclusione che questo intorno, o più precisamente 

 l'ampiezza di esso, può riguardarsi, per un dato punto x, come una fun- 

 zione di y tra y s e y e come tale ammette ivi un limite superiore L: che, 

 esistendo determinato e finito per ogni punto x preso in una delle parti 

 a l ...b lì a 2 ...b 2 ,...a n ...b n potrà alla sua volta considerarsi come funzione 

 L(x) della x. 



Questa funzione L(x) , di sua natura sempre positiva, pei punti x ap- 

 partenenti alle parti ora dette ammette un limite inferiore / che appunto, 

 nel modo del n.° 4 citato, si dimostra non potere essere lo zero. 



Pel punto x = a l esisterà dunque un tratto da a, ad a l -+-d ai = a[ sulla 

 retta y = y s _ hPl tale che in ogni punto di esso sia 



m 3ct 



\A®, y )—A&* /aWI < y 



e sarà d ai > /. 



Pel punto x = a x -+- d ai = a\ parimente vi sarà un tratto a[ . . . a[ -h d a [ 

 sulla retta y = y s _ hP ' l tale che in ogni punto x di esso sia 



3(7 



\J(x, y Q ) —A®, y*+ P ù\ < ~2 



e sarà pure d a [ > l. 



Si vede che, cosi continuando, mediante un numero finito di tratti, 

 tutti di ampiezza maggiore o eguale a /, si percorrerebbe la parte a x ...b x '. 



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