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indi in modo simile la parte a 2 ...b 2 etc. etc. I numeri y s -^. Pl , y s + Pl , . ■ . y s +. Pt • • • 

 che occorre cosi di considerare sono in numero finito e tra essi ve ne è 

 uno massimo. 



Si ha cosi una linea spezzata a lati di lunghezza maggiore o eguale 

 a l, e giacenti dentro le parti a l ...b l ,...a n . . . b n su varie rette y = y Smi _ Piì , 

 ys+ P f-', tali che in ogni punto x di essi, si ha 



3cr 



\f(ù, y )—/(oc, yi m )\ < y ; 



dove (x, yi {x) ) indica precisamente un punto della spezzata. 



3. La condizione che abbiamo qui trovato come necessaria per l'inte- 

 grabilità della /(oc, y ) vogliamo ora mostrare, che nelle ipotesi poste, é 

 anche sufficiente. 



Osserviamo anzitutto, che se si considera una linea spezzata, composta 

 di un numero finito di tratti presi ciascuno sopra una delle rette ?/—?/,, 

 y 2 ,y 3 ,... e in modo che a ogni punto x tra a e b corrisponde un solo 

 punto {x , yh X) ) sulla spezzata, i valori che la f(x, y) ha nei punti di una 

 tal linea costituiscono una funzione, che indicheremo con /(x, yi[ X ì), atta 

 all'integrazione fra a e b cioè, esiste determinato e finito l'integrale cur- 

 vilineo \/(od, yi(x))dx preso lungo la spezzata. 



Ciò è manifesto, quando si pensi che ciascun lato della spezzata 

 giace sopra delle rette y = y s lungo le quali f(x, y s ) é, per ipotesi, atta 

 all'integrazione. In un punto di distacco tra due lati, giacenti ad es. l'uno 

 sulla y = y Sl , l'altro sulla y = y s% , sia che ivi si prenda per valore della 

 f(&,yi( X )) quello della f{x, y Sl ), sia che si prenda quello della f(x, y Si ), la 

 /(&, yi[a>)) avrà una discontinuità di seconda specie se questa esiste in quel 

 punto per una delle due /(x, y Sì ), f(x, y Sn ) ; ovvero, si potrà ivi avere per 

 \& f{x, yi (x ) una discontinuità di prima specie, se una simile discontinuità 

 esiste per una o per ambedue le f(x, y Sl ), /(x , y Si ) e anche se ognuna di 

 queste fosse in quel punto continua : ben inteso, a sinistra e a destra ri- 

 spettivamente, di guisa che la f(x, yi {Xl ) coincida nei singoli lati della linea 

 spezzata y = y lla)1 con le ,f(x, y Sl ), f{x, y Sl ) . . ./(od, y Sp ) rispettivamente se i 

 lati della spezzata sono sulle y = y Si y, H ,...y Sp , p sempre finito e pei p punti 

 di distacco potrà anche avere una discontinuità. 



Premesso ciò, siano presi piccoli a piacere, indipendentemente uno 

 dall'altro, i numeri a e e; sia anche scelto a piacere uno dei numeri y s : 

 e suppongasi che tolti certi tratti in numero finito x l , t 2 , . . ,x p di somma 

 minore di e, rimanga verificata questa condizione: che fra la retta y = y s 

 (la quale è scelta a piacere) e la retta y — ?/ esista sempre una linea spez- 



