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zata composta di un numero finito di tratti giacenti sulle rette y=.y 3 _^ ì , 

 ys+% , • • ■■• ys+i , in ogni punto (x, yi (xi ) della quale, eccettuati al più i punti 

 appartenenti ai tratti r, , t 2 , . . . t p si abbia 



I/O, y o )—f(x, yu^\ - - . 



Ora, in ogni punto x tra a e b, è 



/(as, y ) =/( i a?, #,„,) -+-f(x, y ) —f(x, y m ) ; 



o~ 

 i punti (a? , yi(oc) nei quali \& f(x, yi {x) ) fa un'oscillazione maggiore di - 



formano un gruppo rinchiudibile. — D'altra parte, a cagione della dise- 

 guaglianza precedente, la f(x, y ) — f(x, yi [XÌ può avere un'oscillazione 



a 



maggiore o eguale a - solamente in un punto x che appartenga a uno 



dei tratti t lt t 2 , .. . v p . 



La f(x, y ) può dunque avere un'oscillazione maggiore di a solamente 

 in punti formanti un gruppo rinchiudibile. 



Essa é dunque integrabile. 



Si può così enunciare ia proposizione: nell'ipotesi che la funzione di x 

 f(x, y s ) determinata e finita tra, a e b per ogni calore fisso y s appartenente 

 a un gruppo di numeri y t , y 2 ,...y, ... aventi per unico limite y sia inte- 

 grabile e che esista determinato in ogni punto x e inferiore in calore as- 

 soluto a un numero fisso per tutto a...b il 



'im/O, y,)=f(x,y ), 



affinchè la funzione f(x, y ) così definita sia in a...b atta all' integrazione, 

 è necessario e sufficiente che, presi piccoli a piacere due numeri positivi a 

 e e, indipendenti un dall'altro e scelto pure a piacere uno dei numeri y s , 

 si possa dopo aver opportunamente tolti da a...b certi tratti z 17 T 2 ,...T r in 

 numero finito e di somma minore di e, mediante altri tratti in numero finito 

 giacenti su rette del gruppo y = y s _ h . l , y s _^ 2 5 ■ • • comporre una linea spezzata, 

 yz=zy l{Xi percorrente le parti rimanenti dell' intervallo a...b, in ogni punto 

 della quale sia 



\f(x, y )—f{x, yi ix) )\ <a. 



4. — ■ Questa condizione consiste, in sostanza, in un certo modo di 

 convergenza della f(x, y s ) verso la f(x, y ) al convergere di y s a y . Si 

 potrà chiamarla convergenza uniforme a tratti in generale. 



Come si vede, essa differisce dalla convergenza uniforme a tratti già 

 considerata nella Prima Parte solamente in ciò : che nelle linee spezzate 



