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che nell'una e nell'altra occorre di considerare, la diseguaglianza prece- 

 dente si verifica nell'una in tutto a . . . b ; nell'altra con l'eccezione dei 

 travicelli tolti. 



ssensazione. — È da notarsi la condizione che ognuna delle f(x, y x ), 

 f(x, y 2 ), ...f{x, y s ) ... abbia in a...b un limite superiore Anito: ma non 

 é richiesto che esista un numero Anito, a cui tutti questi limiti superiori 

 rimangono inferiori. 



5. — Le considerazioni esposte sin qui sono in particolare applicabili 



alle sei'ie "Lu n {x) ', u n (x) essendo una funzione della x in a. . .6. Basta fare 



i 



f(x, y s ) — 2un(x),f{30, y ) = 2a n (x) . 



\ i 



co 



Una serie 2u„(x) convergente in ogni punto x di a...b si dirà che con- 

 i 

 verge in egual grado per tratti in generale, se presi a piacere dei numeri 



positivi a e s comunque piccoli e scelto pure a piacere un numero intero m n 

 si trova poi sempre un'altro intero m 2 > m,, tale che per tutti i valori x 

 in a...b, eccettuati al più quelli contenuti in certi tratti t 11 'z 2 ,...T r in nu- 

 mero finito e di somma inferiore a e, per un qualche numero m, che può 

 variare con x, ma rimane sempre compreso tra m^ e m 2 si abbia 



| R m {oc) | < a 



R m {x) essendo il resto della serie. 



Suppongasi u n (x) per ogni n, inferiore in valore assoluto a un numero 

 finito, e integrabile tra a e b. Sarà finita per ogni n e integrabile la 

 somma 



S n (x) = u^x) -+- u.,(x) -+- • • • H- u n (x) 



e si potrà asserire : affinché la serie 



S(x) = I,u n (x) 

 i 



di infinite funzioni integrabili tra a e h, essendo in ogni punto x determi- 

 nata e minore sempre di un numero L finito, sia tra a e b integrabile, è 

 necessario e sufficiente che essa ivi converga in egual grado per tratti in 

 generale. 



6. — Supposta dunque soddisfatta la condizione di integrabilità detta 

 al n.° 3, esisterà finita e continua in ogni punto x la funzione 



rx r*x 



I lim/(aj, y s )dx = if(x , y )dx = 6(x) . 



J a ys — Va J a 



