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Si presentano ora naturalmente le due domande : 

 1° Esisterà anche sempre 



lim /(a?, y,)dx 



in ogni x finita e continua ? 



2° E quando esiste, coinciderà sempre colla precedente 6{x) ? 

 Mostreremo col mezzo di esempi, che può benissimo esistere finita e 

 continua la funzione 



lim /(a?, y )dx 

 mentre non avviene altrettanto dell'altra 



r 



lim ìf(x, t/ s )dx . 

 ys—yja 



Parimenti mostreremo che questa, pure esistendo finita e continua per 

 ogni x, può non coincidere colla precedente in alcun punto, eccetto il 

 punto iniziale. 



Riprendiamo la serie (pag. 33 Parte Prima) 



%u n (x) =2 * — 2n 2 xe~ n ^-h 2{n -+- lfxe~ '«W 5 



n = ' 



si ha 



S n (x) = 2n 2 xe- n **\ 

 epperó per ogni x 



1 i m S n (x) = . 



La somma della serie é dunque integrabile in un intervallo qualsiasi ; 

 e d'altronde sappiamo bene che essa possiede la convergenza uniforme a 

 tratti. 



La somma dei primi n -+- 1 integrali é 



s n {x) =2 ! |— 2/i s a3e _BW H- 2(n -+- l) s aje- ,n -*- 1)W ] da? = 



o IL ' 







