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La somma S(oè) é dunque continua per ogni valore finito di x: ma non 

 vi é convergenza uniforme in qualsiasi intervallo comprendente il punto 

 a? = 0, giacché il resto è 



r„(x) = 



x 



x-ì-\ 



x 



n-ì-2 



n -+- 1 



n 



nxe 



l/n 



e nel punto x = — = , per ogni n abbastanza grande, é sempre 

 \/ n 



maggiore di un numero comunque grande assegnato. 



Vi sarà però la convergenza uniforme a tratti, che sarebbe facilissimo 

 di costrurre. 



Si integri termine a termine : resulta 



S n {x)dx = 



■x 



1 1 _ 



Mfrt^-i-i 



±- _4_ _p— (n— l)afl Lp~ 



\n 2 2 



/Y 3 W 



1 



1.2 



X' 



\n 



1 1 



che, al crescere di n, converge verso e x — - per ogni x diverso da zero: 



/* X ~ 



mentre per x—0, ìim \S n (x)dx = . 



La funzione lim l S n (x)dx è dunque discontinua in x = 0: non può 

 quindi rappresentare 



r>-'C nX 



lim £„(#) -dx=\ e x dx = e x —l. 



Esse coincidono solo in £c = 0. 



Vediamo anche gli esempi, che dà il Di ni. 

 11 primo é 



y ( s y \ 2kji n (x — a) 2k„+ 1 h„_ hl (x — a) f 



Y —2, j 1 _+_ A , (fl5 _ a)4 t _^_ h ,^ {x _ a)i s 



dove h n è una funzione positiva di n che cresce indefinitamente al cre- 

 scere di n e k n é pure una funzione di ai. 

 Si ha 



o ( rr> \ xn / \ cK ^a^x — a) 2k„_ ì _ 1 h„_ i _ l (x — ci) 



òn{ x) - ^(x) - 1 ^_ hì{x _ 



a) 



1 -+- à'i.^x — af 



