— 719 — 

 dimodoché nel punto x = a vi é discontinuità per la 



$(x) = lim 



S n (x)dx 



se lim k n _±. x \ogh n _ hl è diverso da zero: come accade se, come fa il Di ni, 



si suppone /? < 1 : e { \>{x) in tal caso evidentemente non è l'integrale della 

 serie considerata: ma se si prende 3 > 1 , supposto e, sia pure variabile 

 con n, minore però sempre di un numero assegnabile, allora $(x) è fun- 

 zione finita e continua di x ed è l'integrale di *Lu n {x) : e si ha cosi una 



i 

 serie, non convergente in egual grado, alla quale é applicabile l' integra- 

 zione termine a termine. 



Esponiamo ancora l'esempio più importante dato da Osgood nella 

 memoria : Non Uniform Cotwergenee and the Integration of series Terni 

 by Terni (American Journal of Mathematics Voi. XIX), nel quale la serie 

 degli integrali ha una somma sempre continua, e non coincide mai, tranne 

 in un punto, con l' integrale della serie. 



Qui é trattato in modo alquanto differente. 



Si ricordi la costruzione descritta a pag. 41 della Parte Prima. 



Si considerino gli intervalli (/?), ognuno di lunghezza /„, in numero to- 

 tale 2" _1 e coi centri q { ?\,a { 2 n) , . .. a&Lj. 



Si prenda 



S n (x) = ^ZTi [ <P»(OC — a[' l \ /„) H h (pn{OC — CÓ^-X , l n ) ( 



Mostriamo che 



lim js n (x)dx 



è determinato e finito in ogni punto x di 0...1: che 



§ n {x)dx 



al crescere di n, ha verso il suo limite l'ordinaria convergenza uniforme 

 il che produce la continuità del limite medesimo : infine che esso non 

 coincide in alcun punto, all' infuori del punto x = 0, con 



lim. s n (x)-dx . 



J n=oo 



