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 Osserviamo che é 



ÌÌ7T jzx rtx 



(p n {oo — a\ J) , lj)dx = 2 j — ■ sen — cos -=—■ e n cos ' i s • cfo? 



f /-,• L- // 



Lj lj li 



•"'0 



2 JIQQ 



che, ponendo # = — ai cos — , diviene 



I 



) M (as — «■), ^cfèe = I e*ob = 1 — e~ n . 

 h J 



2 



Si fìssi un valore x qualsiasi in 0...1: si può sempre, nel cercare il 



r 



lirri s v {x)dx 



n=ooj 



supporre che il punto x sia esterno a tutti i tratti (n) che si considerano 

 nella costruzione delle (p n componenti la s r ,(x) : giacché se per una certa 

 § n {x) non lo fosse, lo diverrebbe però al crescere di n e rimarrebbe tale 

 per tutte le successive s n _±. x {x), s n _^_ 2 {x) , . . . 



Sia p n < 2 V ~ 1 il numero dei tratti {ri) che cadono dentro l'intervallo 

 o . . . x. 



■>x 



Sarà n n 



\s n {x)dx — ^ zl {\ — e n )'. 



Se si passa da n a n -+- 1 , il numero p n _+. x dei tratti (n-+-l) occorrenti 

 per la Sv+^x) è 2p n : per la s n _ i . 2 {x) è p n ^.i =■ 2 2 - p n etc. etc. ; dimodoché il 



fattore ~^r x non varia con n: almeno da un n in avanti, dipende solo da x. 



Di conseguenza é 



r>x, 



lim I § n {x)dx = ip{x) 



n = ooj 



tp(x) essendo una funzione determinata nell'intervallo 0...1 : e che é in 

 a? = 0: 1 in x = l e al crescere di x da a 1 non va mai decrescendo, 

 come è subito veduto. 



Aggiungiamo di più che essa ha la convergenza uniforme ordinaria. 



Si osservi che per un n fisso comunque 



r 



I § n {x)dx 



