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é non decrescente al crescere di x da a 1 : giacché é sempre sjx) > . 

 Basterà mostrare che 



I s 1 (x)dx , / s 2 (x)dx , . . . I s n {oc)dx , . . . 



Jo J o Jo 



costituiscono una successione di funzioni egualmente continue. 



Sia scelto un numero positivo a piccolo a piacere : per m abbastanza 

 grande, sarà 



5 S =i-(l-e- m )<(j ) e anche -^ < a . 



Ora l'oscillazione della \s m {x)dx in un tratto qualsiasi di ampiezza d 



J 



non maggiore di l m é al più eguale a 



(1 — e~~ m ) 



perché in un simile tratto d o non cade alcuno dei tratti (a[ m) — -^', a\ m] -\-—\ 



che intervengono nella costruzione delle (p m {x — a[' n) , l m ), ovvero uno di 

 essi vi cade totalmente o in parte. 

 Le oscillazioni poi delle successive 



r>X r*x 



§>m-+-\\X) . CtX , ! S m _^_2\<Z')CtX , 



dovranno essere minori o al più uguali rispettivamente alle quantità 



9 9 2 

 — (1 p --(m-ìrl)\ _2! M p — (m-+-2)\ 



giacché dentro quel tratto <3 l possono cadere per intero al più due, quat- 

 tro etc. etc. dei tratti che via via intervengono nella costruzione delle suc- 

 cessive Sm+x, s m _ i _ 2 ,...: quelle oscillazioni sono dunque tutte inferiori a a. 



Rimane dunque provata la continuità della -ip(x). 



Ora, in ogni punto x è 



lim § n {x) = : 



n — oo 



quindi sempre 



r 



lim s n (x)-dx = : 



n=oo 



