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 si conclude che 



rx 



lim s„(x)dx = ip(x) 



n=ooj 



é una funzione continua, la quale non coincide in alcun punto, all' infuori 

 de! punto iniziale x = 0, coli' integrale 



rx 



lim s n (x)dx . 



J n — oo 

 o 



7. — Gli esempi qui esposti ci inducono a riflessioni importanti. 



co 



Mostrano che se la f\x,y ), ovvero in particolare la Zu n (x) è integra- 



bile, vale a dire é soddisfatta la condizione del n.° 3, e cosi esiste finita 

 e continua la 



6(x) — \\m i/(x, y ))dx, 

 y*=yj a 

 può avvenire che la 



fX 



(p(x) = lim ìf(x, y s )dx 

 ys=y n J a 



rx n 



e in particolare il lim I 2u s (x)dx sia discontinua in qualche punto, e al- 



11= a, J a 1 



lora naturalmente non coincide sempre con la 6(x): e ciò che è più note- 

 vole, può anche <p(x) esistere perfettamente finita e continua e nondimeno 

 differire dalla 6(x) per una funzione, non costante e nulla solo in un punto. 

 Queste singolarità, negli esempi addotti, sono accompagnate dal fatto, 



che non si può assegnare un numero finito L, del quale sia sempre mi- 

 ra 



nore il valore assoluto della f(x, y s ) e, in particolare della 2u s (x) ; ma nel 



fatto medesimo in sé non risiede la cagione della singolarità, perché ab- 

 biamo anche veduto esempi in cui il fatto sussiste e nondimeno <p{x) coin- 

 cide con 6(x). 



Siamo dunque condotti alla seguente questione generale : tenute ferme 

 le ipotesi e soddisfatte le condizioni del n° 3 ed essendo cosi 



f(x, y Q ) = \\m f(x, y s ) 



una funzione di x, atta all'integrazione in a...b, guai' è la condizione ne- 

 cessaria e sufficiente affinchè, per ogni x ivi, si abbia 



J^x rx 



f(x, y ù )dx= hm \f(x, y s )dx ? 

 a ys~yt>J a 



