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Distingueremo due casi quello che per ogni x e per ogni y s vi sia un 

 numero L pel quale si abbia 



b) \f(x,y s )\<L: 



e l'altro, che pur esistendo un limite finito L ÌJs pei valori di \f(x,y s )\, per 

 ogni t/ s fìsso e per x variabile in a...b, non vi sia però un limite supe- 

 riore finito per tutti gli L lJs ( *>. 



Cominciamo collo studiare il primo caso. 



Poiché anche per \f(x, y Q )\ vi é un limite superiore finito, cosi si po- 

 trà supporre 



I /(oc , y ) —f(oc , y s ) | < 2L 



per x in a...b e qualunque sia y s . 



Siano a e e numeri presi piccoli a piacere e indipendenti l'un dall'al- 

 tro. Si può sempre trovare un y s tale che i punti x nei quali é 



\J(x , y ) —/(oc , y s + p ) | > a 



siano contenuti dentro tratti di somma minore di e qualunque sia y s + p . 

 Invero, sia x uno di siffatti punti in cui é 



\f(x, y ) —f(oc', y s + P )\ > a 

 per un certo y 3 +. P . 



La funzione di x,f(x,y ) — J(oc,y s +p) in quel punto x\ fa un'oscilla- 

 zione minore di -, ovvero ne fa una maggiore o eguale. 



Se ne fa una maggiore o eguale, allora il punto x appartiene a un 

 gruppo rinchiudibile, a cagione della integrabilità della j(x, y ) — f(x, y s ^_ p )\ 

 se ne fa una minore, vi sarà tutto un tratticello, intorno di x', in ogni 

 punto del quale è 



I/O», y ) —f(n, y>+p)\ > 2 • 



Ora, per ciascun y s + P , si possono rinchiudere dentro tratti di somma 



minore di -, tutti i punti nei quali la J(oc,y ) — f(x, y s +. P ) fu un'oscilla- 



a 

 zione maggiore o eguale a -- . I tratti poi, in ogni punto dei quali é 



(j 

 \f(x, y ) —f(3G, y s + P ) | > g 



(") Se \&f(x,y s ) nel tendere alla, /'(a?, y ) avesse la ordinaria convergenza uniforme, sicuramente 

 si verificherebbe il 1° caso. 



