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debbono, pel lemma fondamentale 1 (Parte Prima), col tendere di y s ^. p a 



il ridursi di somma minore di -. 



c/o 2 



Rimane cosi provato che i punti x anzidetti, per ognuno degli y s + P 

 da un y s in poi, sono contenuti dentro tratti, la cui somma é minore di s. 

 Ben s'intende che questi tratti possono mutare da un y s ± p a un'altro. 



Si ha quindi, qualunque sia x in a...b e per ogni y s ^_ p oltre un certo y s , 



a) 



fX 



\\A^,y^ ~ A 80 '* ys+ P )\dx < a{x — a) -+- 2eL ; 



a e e essendo di piccolezza arbitraria, segue di qui senz'altro la validità 

 dell'eguaglianza 



J"X r>X 



f(x, y )dx = lim ìf(x, y s )dx . 

 a Ì/s-ì/Ja 



La convergenza uniforme a fratti in genera/e, che si è trovato essere la 

 condizione generale per la integrabilità della f(x, y ), produce pure nel caso 

 che si considera, la validità della a). 



Osservazione. — La relazione a) ci mostra anche che 1' integrale 



Jf(x,y s )dx, nel suo convergere all'integrale lf(x,y )dx, possiede la or- 

 a Uà 



dinaria convergenza uniforme: inquantoché, qualunque sia x, un conve- 

 niente valore y s serve a rendere 



i/0»» y ) — A& > cVw) \ d & 



<v\ 



a l essendo un numero positivo preso piccolo a piacere. 

 La qual cosa significa che P integrale 



tX 



f(x, y s )dx 



a 



rignardato come funzione delle due variabili x e y s ha la continuità asso- 

 luta in ogni punto (x, y ). 



8. — Si prenda in particolare 



$ co 



f(x, y s ) = 2>«(a?) , /{oc, y )=Y i u n {x) 



i 1 



facendo y s = s, y Q = oz, e si potrà enunciare la proposizione: se ognuna 



