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delle funzioni u,ix), u 2 (x),... è integrabile in a...b: se la somma 2u r (x) è 



i 

 determinata per ogni x e inoltre qualunque sia s ex, si ha sempre 



i 



< L, (L finito), 



la condizione necessaria e sufficiente affinché la 



f(x)=^U n (x) 



1 

 sia atta all' integrazione in a . . b e si abbia insieme 



OO fX 



I 2 Unix) - dx = 2 I u n (x)dx , 



é c/ie la serie data abbia la convergenza uniforme a tratti in generale. 



9. — Si può trarre di qui un teorema per la derivazione della serie. 



Indichi ora. f(x,y s ) una funzione finita, continua di x in tutto a...b, 

 per ogni valore y s \ ammetta in ogni punto x derivata f' x {x,y s ) determi- 

 nata e finita, atta all'integrazione in a... 6, e sia ancora 



\imfx(x,y s ) = <p(x,y ): 



(p(x, y ) funzione pure finita e atta all'integrazione in a...b: vale a dire, 

 ì&f x (x,y s ) nel tendere di y s a y Q abbia ivi la convergenza uniforme a 

 tratti in generale. 



Poniamoci nel caso che, per tutti gli x e gli y s si abbia 



e) \f x (x,y s )\<G 



■G numero finito : sarà allora, per quanto é stato stabilito precedentemente, 



.Se si chiama 



.«ara 



fX pX 



<p(x , y )dx == lina f'.{x , y s )dx , 

 a y* = yoj a 



(p{x, y )dx= ìp(3c) 9 



ip(x) =\im \f(x, y s )—f(a, y s )\ 

 y*=y<> 



Serie V. — Tomo Vili. 



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